Aula No. 4. Álgebra Relacional. Operações unárias

Álgebra relacional, como você pode imaginar, é um tipo especial de álgebra em que todas as operações são executadas em modelos de dados relacionais, ou seja, em relacionamentos.

Em termos tabulares, uma relação inclui linhas, colunas e uma linha - o cabeçalho das colunas. Portanto, as operações unárias naturais são operações de seleção de determinadas linhas ou colunas, bem como de alteração de cabeçalhos de coluna - renomeação de atributos.

1. Operação de seleção unária

A primeira operação unária que veremos é operação de busca - a operação de selecionar linhas de uma tabela representando uma relação, de acordo com algum princípio, ou seja, selecionar linhas-tuplas que satisfaçam uma determinada condição ou condições.

Operador de busca denotado por σ , condição de amostragem - P , ou seja, o operador σ é sempre tomado com uma certa condição nas tuplas P, e a própria condição P é escrita dependendo do esquema da relação S. Levando em conta tudo isso, o operação de busca sobre o esquema da relação S em relação à relação r ficará assim:

σ r(S) ≡ σ r = {t(S) |t ∈ r & P t} = {t(S) |t ∈ r & IfNull(P t, False};

O resultado desta operação será uma nova relação com o mesmo esquema de relação S, consistindo daquelas tuplas t(S) do operando-relação original que satisfazem a condição de seleção P t. Fica claro que para aplicar algum tipo de condição a uma tupla, é necessário substituir os valores dos atributos da tupla ao invés dos nomes dos atributos.

Para entender melhor como essa operação funciona, vejamos um exemplo. Seja dado o seguinte esquema de relações:

S: Sessão (Nº da Caderneta de Notas, Sobrenome, Assunto, Nota).

Vamos tomar a condição de seleção da seguinte forma:

P = (Assunto = ‘Ciência da Computação’ e Avaliação >

Precisamos extrair do operando-relação inicial aquelas tuplas que contêm informações sobre os alunos que passaram na disciplina "Ciência da Computação" em pelo menos três pontos.

Seja também dada a seguinte tupla desta relação:

t₀(S) ∈ r(S): {(Boletim nº: 100), (Sobrenome: 'Ivanov'), (Assunto: 'Bancos de dados'), (Pontuação: 5)};

Aplicando nossa condição de seleção à tupla t₀, Nós temos:

P t₀ = ('Bancos de dados' = 'Informática' e 5 >

3);

Nesta tupla em particular, a condição de seleção não é atendida.

Em geral, o resultado desta amostra em particular

σ<Assunto = 'Ciência da Computação' e Série > 3 > Sessão

haverá uma tabela "Sessão", na qual são deixadas as linhas que satisfazem a condição de seleção.

2. Operação de projeção unária

Outra operação unária padrão que estudaremos é a operação de projeção.

Operação de projeção é a operação de selecionar colunas de uma tabela representando uma relação, de acordo com algum atributo. Ou seja, a máquina seleciona aqueles atributos (ou seja, literalmente aquelas colunas) da relação operando original que foi especificada na projeção.

operador de projeção denotado por [S'] ou π . Aqui S' é um subesquema do esquema original da relação S, ou seja, algumas de suas colunas. O que isto significa? Isso significa que S' tem menos atributos do que S, pois apenas permaneceram em S' aqueles atributos para os quais a condição de projeção foi satisfeita. E na tabela que representa a relação r(S' ), há tantas linhas quanto há na tabela r(S), e há menos colunas, pois restam apenas as correspondentes aos demais atributos. Assim, o operador de projeção π< S'> aplicado à relação r(S) resulta em uma nova relação com um esquema de relação diferente r(S' ), consistindo em projeções t(S) [S' ] de tuplas do original relação. Como essas projeções de tupla são definidas? Projeção de qualquer tupla t(S) da relação original r(S) para o subcircuito S' é determinada pela seguinte fórmula:

t(S) [S'] = {t(a)|a ∈ def(t) ∩ S'}, S' ⊆S.

É importante notar que as tuplas duplicadas são excluídas do resultado, ou seja, não haverá linhas duplicadas na tabela representando a nova.

Com todos os itens acima em mente, uma operação de projeção em termos de sistemas de gerenciamento de banco de dados ficaria assim:

π r(S) ≡ π r ≡ r(S) [S'] ≡ r [S' ] = {t(S) [S'] | t ∈ r};

Vejamos um exemplo que ilustra como funciona a operação de busca.

Seja a relação "Sessão" e o esquema desta relação:

S: Sessão (número da apostila, sobrenome, assunto, série);

Estaremos interessados ​​em apenas dois atributos deste esquema, a saber, "Gradebook #" e "Last Name" do aluno, então o subesquema S' ficará assim:

S': (Número do livro de registro, Sobrenome).

É necessário projetar a relação inicial r(S) no subcircuito S'.

Em seguida, vamos receber uma tupla t₀(S) da relação original:

t₀(S) ∈ r(S): {(Boletim nº: 100), (Sobrenome: 'Ivanov'), (Assunto: 'Bancos de dados'), (Pontuação: 5)};

Portanto, a projeção desta tupla no subcircuito S' será assim:

t₀(S) S': {(Número do livro de contas: 100), (Apelido: 'Ivanov')};

Se falarmos sobre a operação de projeção em termos de tabelas, então a Sessão de projeção [número do boletim de notas, Sobrenome] da relação original é a tabela Sessão, da qual todas as colunas são excluídas, exceto duas: número do boletim de notas e Sobrenome. Além disso, todas as linhas duplicadas também foram removidas.

3. Operação de renomeação unária

E a última operação unária que veremos é operação de renomeação de atributo. Se falamos sobre o relacionamento como uma tabela, a operação de renomeação é necessária para alterar os nomes de todas ou algumas das colunas.

renomear operador fica assim: ρ<φ>, aqui φ - renomear função.

Esta função estabelece uma correspondência um-para-um entre os nomes dos atributos do esquema S e Ŝ, onde respectivamente S é o esquema da relação original e Ŝ é o esquema da relação com atributos renomeados. Assim, o operador ρ<φ> aplicado à relação r(S) dá uma nova relação com o esquema Ŝ, consistindo de tuplas da relação original com apenas atributos renomeados.

Vamos escrever a operação de renomear atributos em termos de sistemas de gerenciamento de banco de dados:

ρ<φ> r(S) ≡ ρ<φ>r = {ρ<φ> t(S)| t ∈ r};

Aqui está um exemplo de uso desta operação:

Vamos considerar a relação Session já familiar para nós, com o esquema:

S: Sessão (número da apostila, sobrenome, assunto, série);

Vamos introduzir um novo esquema de relacionamento Ŝ, com diferentes nomes de atributos que gostaríamos de ver em vez dos existentes:

Ŝ : (Nº ZK, Sobrenome, Assunto, Pontuação);

Por exemplo, um cliente de banco de dados queria ver outros nomes em sua relação pronta para uso. Para implementar essa ordem, você precisa projetar a seguinte função de renomeação:

φ : (Nº do livro de contas, Apelido, Assunto, Série) → (Nº ZK, Apelido, Assunto, Pontuação);

Na verdade, apenas dois atributos precisam ser renomeados, então é legal escrever a seguinte função de renomeação em vez da atual:

φ : (número do livro de registro, Grau) → (Nº ZK, Pontuação);

Além disso, deixe que a tupla já familiar pertencente à relação Session também seja dada:

t₀(S) ∈ r(S): {(Boletim nº: 100), (Sobrenome: 'Ivanov'), (Assunto: 'Bancos de dados'), (Pontuação: 5)};

Aplique o operador renomear a esta tupla:

ρ<φ>t₀(S): {(ZK#: 100), (Sobrenome: 'Ivanov'), (Assunto: 'Bancos de dados'), (Pontuação: 5)};

Então, essa é uma das tuplas da nossa relação, cujos atributos foram renomeados.

Em termos tabulares, a razão

ρ < Número do boletim de notas, Nota → "Não. ZK, Pontuação > Sessão -

esta é uma nova tabela obtida da tabela de relacionamento "Sessão" renomeando os atributos especificados.

4. Propriedades das operações unárias

As operações unárias, como qualquer outra, têm certas propriedades. Vamos considerar o mais importante deles.

A primeira propriedade das operações unárias de seleção, projeção e renomeação é a propriedade que caracteriza a razão das cardinalidades das relações. (Lembre-se que a cardinalidade é o número de tuplas em uma ou outra relação.) É claro que aqui estamos considerando, respectivamente, a relação inicial e a relação obtida como resultado da aplicação de uma ou outra operação.

Observe que todas as propriedades das operações unárias seguem diretamente de suas definições, de modo que podem ser facilmente explicadas e até mesmo, se desejado, deduzidas independentemente.

Assim:

1) relação de potência:

a) para a operação de seleção: | σ r |≤ |r|;

b) para a operação de projeção: | r[S'] | ≤ |r|;

c) para a operação de renomeação: | ρ<φ>r | = |r|;

No total, vemos que para dois operadores, nomeadamente para o operador de seleção e o operador de projeção, o poder das relações originais - operandos é maior do que o poder das relações obtidas dos originais aplicando as operações correspondentes. Isso ocorre porque a seleção que acompanha essas duas operações de seleção e projeto exclui algumas linhas ou colunas que não atendem às condições de seleção. No caso em que todas as linhas ou colunas satisfazem as condições, não há diminuição no poder (ou seja, o número de tuplas), então a desigualdade nas fórmulas não é estrita.

No caso da operação de renomeação, o poder da relação não muda, pois ao mudar de nome, nenhuma tupla é excluída da relação;

2) propriedade idempotente:

a) para a operação de amostragem: σ σ r = σ ;

b) para a operação de projeção: r [S'] [S'] = r [S'];

c) para a operação de renomeação, no caso geral, não se aplica a propriedade da idempotência.

Esta propriedade significa que aplicar o mesmo operador duas vezes em sucessão a qualquer relação equivale a aplicá-lo uma vez.

Para a operação de renomeação de atributos de relações, de modo geral, esta propriedade pode ser aplicada, mas com ressalvas e condições especiais.

A propriedade da idempotência é muitas vezes usada para simplificar a forma de uma expressão e trazê-la para uma forma mais econômica e real.

E a última propriedade que consideraremos é a propriedade da monotonicidade. É interessante notar que sob quaisquer condições todos os três operadores são monotônicos;

3) propriedade de monotonicidade:

a) para uma operação de busca: r₁ ⊆ r₂ ⇒σ r₁ ⇒ σ r₂;

b) para a operação de projeção: r₁ ⊆ r₂ ⇒ r₁[S'] ⊆ r₂ [S'];

c) para a operação de renomeação: r₁ ⊆ r₂ ⇒ ρ<φ>r₁ ⊆ ρ<φ>r₂;

O conceito de monotonicidade na álgebra relacional é semelhante ao mesmo conceito da álgebra geral ordinária. Esclareçamos: se inicialmente as relações r₁ e r₂ estavam relacionados entre si de tal forma que r ⊆ r₂, então mesmo após aplicar qualquer um dos três operadores de seleção, projeção ou renomeação, essa relação será preservada.

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