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DESCOBERTAS CIENTÍFICAS MAIS IMPORTANTES
Teorema fundamental da álgebra. História e essência da descoberta científica
Diretório / As descobertas científicas mais importantes "O teorema fundamental da álgebra na forma de uma afirmação: uma equação algébrica tem tantas raízes quanto seu grau, declarado por Girard e Descartes, - notas em seu livro "No mundo das equações" V.A. Nikiforovsky. - Sua formulação, que consiste no fato de um polinômio algébrico com coeficientes reais ser decomposto em um produto de fatores reais lineares e quadráticos, pertence a d'Alembert e Euler. Euler relatou isso pela primeira vez em uma carta a Nicolau I Bernoulli (1687-1759) datada de 1º de setembro de 1742. Disso se segue que as raízes das equações algébricas com coeficientes reais pertencem ao campo dos números complexos. A primeira prova do teorema foi realizada em 1746 por d'Alembert (1717-1783). A prova de d'Alembert do teorema fundamental da álgebra foi, no entanto, analítica, não algébrica. O matemático francês utilizou os conceitos de análise que ainda não haviam se formado naquela época, como a série de potências, o infinitesimal. Não é de surpreender que a prova do teorema sofra de imprecisões e tenha sido posteriormente submetida a críticas devastadoras. Gaussianoe depois foi esquecido. Euler deu um novo e significativo passo na prova do teorema fundamental da álgebra. Leonhard Euler (1707-1783) nasceu em Basileia. No final de seus estudos em casa, Leonard, de treze anos, foi enviado por seu pai para a Universidade de Basel para estudar filosofia. Entre outras disciplinas, matemática elementar e astronomia eram estudadas nesta faculdade, ministrada por Johann Bernoulli. Bernoulli logo percebeu o talento do jovem ouvinte e começou a estudar com ele separadamente. Depois de receber o título de mestre em 1723, depois de proferir um discurso em latim sobre a filosofia de Descartes e Newton, Leonard, a pedido de seu pai, começou a estudar línguas orientais e teologia. Mas ele foi cada vez mais atraído pela matemática. Euler começou a visitar a casa de seu professor, e entre ele e os filhos de Johann Bernoulli - Nikolai e Daniel - surgiu uma amizade que desempenhou um papel muito importante na vida de Leonard. Em 1725, os irmãos Bernoulli foram convidados a se tornarem membros da Academia de Ciências de São Petersburgo. Eles contribuíram para o fato de Euler se mudar para a Rússia. As descobertas de Euler, que, graças à sua intensa correspondência, muitas vezes se tornaram conhecidas muito antes da publicação, tornam seu nome cada vez mais conhecido. Sua posição na Academia de Ciências foi melhorando: em 1727, começou a trabalhar com o posto de adjunto, ou seja, o acadêmico júnior, e em 1731 tornou-se professor de física, ou seja, membro titular da Academia. Em 1733 ele recebeu a cadeira de matemática superior, anteriormente ocupada por D. Bernoulli, que retornou a Basel naquele ano. O crescimento da autoridade de Euler encontrou um reflexo peculiar nas cartas a ele de seu professor Johann Bernoulli. Em 1728, Bernoulli se volta para "o jovem mais erudito e talentoso Leonhard Euler", em 1737 - para "o matemático mais famoso e espirituoso" e em 1745 - para "o incomparável Leonhard Euler - o chefe dos matemáticos". Em 1736, dois volumes de sua mecânica analítica apareceram. A procura por este livro foi grande. Muitos artigos foram escritos sobre várias questões de mecânica, mas ainda não houve um bom tratado sobre mecânica. Em 1738, duas partes de uma introdução à aritmética apareceram em alemão, em 1739, uma nova teoria da música. No final de 1740, o poder na Rússia passou para as mãos da regente Anna Leopoldovna e sua comitiva. Uma situação alarmante se desenvolveu na capital. Neste momento, o rei prussiano Frederico II decidiu reviver a fundação Leibniz Sociedade de Ciências de Berlim, quase inativa por muitos anos. Através de seu embaixador em Petersburgo, o rei convidou Euler para Berlim. Euler, acreditando que "a situação começava a parecer bastante incerta", aceitou o convite. Em Berlim, Euler a princípio reuniu em torno de si uma pequena sociedade científica e depois foi convidado para a recém-restaurada Academia Real de Ciências e nomeado reitor do departamento de matemática. Em 1743 publicou cinco de suas memórias, quatro delas sobre matemática. Uma dessas obras é notável em dois aspectos. Indica uma maneira de integrar frações racionais decompondo-as em frações parciais e, além disso, é delineada a maneira agora usual de integrar equações ordinárias lineares de ordem superior com coeficientes constantes. Em geral, a maior parte do trabalho de Euler é dedicada à análise. Euler simplificou e complementou de tal maneira todas as grandes seções da análise de infinitesimais, integração de funções, teoria das séries, equações diferenciais, que já haviam começado antes dele, que adquiriram aproximadamente a forma que permanece atrás deles em grande parte para este dia. Euler também iniciou todo um novo capítulo de análise, o cálculo das variações. Essa iniciativa dele logo foi adotada por Lagrange, e uma nova ciência foi formada. A prova de Euler do teorema fundamental da álgebra foi publicada em 1751 na obra "Investigations on imaginárias raízes de equações". Euler realizou a prova mais algébrica do teorema. Mais tarde, suas ideias principais foram repetidas e aprofundadas por outros matemáticos. Assim, os métodos para estudar equações foram desenvolvidos pela primeira vez por Lagrange e, em seguida, tornaram-se parte integrante da teoria de Galois. O principal teorema era que todas as raízes da equação pertencem ao corpo dos números complexos. Para provar essa posição, Euler estabeleceu que qualquer polinômio com coeficientes reais pode ser expandido em um produto de fatores reais lineares ou quadráticos. Valores de números que não são reais, “Euler chamou de imaginários”, escreve Nikiforovsky, “e apontou que geralmente são considerados aqueles que dão números reais em pares em soma e produto. Portanto, se houver 2 m imaginários raízes, então isso dará m quadrático real de fatores na representação polinomial Euler escreve: “Portanto, diz-se que toda equação que não pode ser fatorada em fatores primos reais sempre tem fatores reais de segundo grau. No entanto, até onde eu sei, ninguém provou a verdade dessa opinião com suficiente rigor; Portanto, tentarei dar a ele uma prova que cubra todos os casos, sem exceção." O mesmo conceito foi defendido por Lagrange, Laplace e alguns outros seguidores de Euler. Gauss não concordou com ela. Euler formulou três teoremas que decorrem das propriedades das funções contínuas. 1. Uma equação de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real. Se houver mais de uma dessas raízes, seu número será ímpar. 2. Uma equação de grau par ou tem um número par de raízes reais ou não as tem. 3. Uma equação de grau par, em que o termo livre é negativo, tem pelo menos duas raízes reais de sinais diferentes. Em seguida, Euler provou teoremas sobre a decomponibilidade em fatores reais lineares e quadráticos de polinômios com coeficientes reais... Ao provar o teorema principal, Euler estabeleceu duas propriedades das equações algébricas: 1) uma função racional das raízes da equação, que assume valores diferentes para todas as permutações possíveis das raízes A, satisfaz uma equação de grau A, os coeficientes dos quais são expressos racionalmente em termos dos coeficientes da equação dada; 2) se a função racional das raízes da equação é invariante (não muda) em relação às permutações das raízes, então ela é racionalmente expressa em termos dos coeficientes da equação original. P.S. Laplace em palestras sobre matemática em 1795, seguindo Euler e Lagrange, admite a fatoração de um polinômio. Ao mesmo tempo, Laplace prova que eles serão reais. Assim, tanto Euler, quanto Lagrange e Laplace construíram a prova do teorema fundamental da álgebra na suposição da existência de um campo de fatoração de um polinômio. Um papel especial nas provas do teorema principal pertence ao "rei dos matemáticos" Gauss. Carl Friedrich Gauss nasceu (1777-1855) em Brunswick. Ele herdou boa saúde dos parentes de seu pai e um intelecto brilhante dos parentes de sua mãe. Aos sete anos, Karl Friedrich ingressou na Catherine Folk School. Em 1788, Gauss mudou-se para o ginásio. No entanto, não ensina matemática. As línguas clássicas são estudadas aqui. Gauss gosta de estudar línguas e está fazendo tanto progresso que nem sabe o que quer se tornar - um matemático ou um filólogo. Gauss é conhecido na corte. Em 1791 ele foi apresentado a Karl Wilhelm Ferdinand, duque de Brunswick. O menino visita o palácio e entretém os cortesãos com a arte da contagem. Graças ao patrocínio do duque, Gauss pôde entrar na Universidade de Göttingen em outubro de 1795. A princípio, ele ouve palestras sobre filologia e quase nunca assiste a palestras sobre matemática. Mas isso não significa que ele não estude matemática. Em 1795, Gauss abraça um interesse apaixonado por números inteiros. No outono do mesmo ano, Gauss mudou-se para Göttingen e literalmente engoliu a literatura que caiu em suas mãos pela primeira vez: as obras de Euler e Lagrange. "Em 30 de março de 1796, chega para ele o dia do batismo criativo. - escreve F. Klein, - Gauss já está há algum tempo engajado em agrupar raízes da unidade com base em sua teoria das raízes "primordiais". uma manhã, ao acordar, ele de repente percebeu clara e distintamente que a construção de um dezessete gon segue de sua teoria ... Este evento foi um ponto de virada na vida de Gauss. Ele decide se dedicar não à filologia, mas exclusivamente à matemática”. A obra de Gauss torna-se por muito tempo um exemplo inatingível de descoberta matemática. Um dos criadores da geometria não-euclidiana, Janos Bolyai, chamou-a de "a descoberta mais brilhante de nosso tempo, ou mesmo de todos os tempos". Só que era difícil compreender essa descoberta! Graças às cartas à pátria do grande matemático norueguês Abel, que provou a insolubilidade da equação do quinto grau nos radicais, sabemos do difícil caminho que percorreu ao estudar a teoria de Gauss. Em 1825, Abel escreve da Alemanha: "Mesmo que Gauss seja o maior gênio, ele obviamente não se esforçou para que todos entendessem isso de uma vez ..." O trabalho de Gauss inspira Abel a construir uma teoria na qual "existem tantos maravilhosos teoremas que ele simplesmente acredita." Não há dúvida de que Gauss também influenciou Galois. O próprio Gauss manteve um amor comovente por sua primeira descoberta para a vida. Em 30 de março de 1796, dia em que o hexágono regular de dezessete foi construído, o diário de Gauss começa - uma crônica de suas notáveis descobertas. A próxima entrada no diário apareceu em 8 de abril. Ele relatou a prova do teorema da lei quadrática da reciprocidade, que ele chamou de "ouro". Casos particulares dessa afirmação foram provados Fazenda, Euler, Lagrange. Euler formulou uma conjectura geral, cuja prova incompleta foi dada por Legendre. Em 8 de abril, Gauss encontrou uma prova completa da conjectura de Euler. No entanto, Gauss ainda não conhecia o trabalho de seus grandes predecessores. Ele percorreu todo o difícil caminho até o "teorema de ouro" sozinho! Gauss fez duas grandes descobertas em apenas 10 dias, um mês antes de completar 19 anos! Um dos aspectos mais surpreendentes do “fenômeno de Gauss” é que em seus primeiros trabalhos ele praticamente não contou com as conquistas de seus antecessores, redescobrindo em pouco tempo o que havia sido feito na teoria dos números em um século e meio pelos obras dos maiores matemáticos. Em 1801, as famosas "Investigações Aritméticas" de Gauss foram lançadas. Este enorme livro (mais de 500 páginas de grande formato) contém os principais resultados de Gauss. Os "Estudos Aritméticos" tiveram um enorme impacto no desenvolvimento da teoria dos números e da álgebra. As leis da reciprocidade ainda ocupam um dos lugares centrais na teoria algébrica dos números. Em Braunschweig, Gauss não teve a oportunidade de se familiarizar com a literatura necessária para o trabalho nas Investigações Aritméticas. Portanto, ele costumava viajar para a vizinha Helmstadt, onde havia uma boa biblioteca. Aqui, em 1798, Gauss preparou uma dissertação dedicada à prova do teorema fundamental da álgebra. Gauss deixou para trás quatro provas do teorema fundamental da álgebra. Ele dedicou sua tese de doutorado, publicada em 1799, à primeira prova, intitulada "Uma nova prova do teorema de que qualquer função algébrica racional inteira de uma invariável pode ser decomposta em fatores reais de primeiro e segundo grau". Gauss não deixou de atentar para as lacunas de Euler e, mais importante, criticou a própria formulação da questão, quando se pressupunha de antemão a existência das raízes das equações. A primeira prova de Gauss, como a de d'Alembert, foi analítica. Na segunda prova, realizada por ele em 1815, o famoso matemático voltou a criticar a prova do teorema fundamental da álgebra por meio do raciocínio, quando se supõe de antemão a existência das raízes da equação. Gauss explicou no parágrafo introdutório a necessidade de uma nova prova: é de esperar que os matemáticos não considerem indesejável que eu volte novamente a esta questão extremamente importante e empreenda a construção de uma segunda prova não menos rigorosa, partindo de princípios completamente diferentes, sobre princípios puramente analíticos. Deve-se notar que o que Gauss chama de método analítico é hoje chamado de método algébrico. Para a prova, Gauss usou a construção do campo de expansão de um polinômio. Mais de sessenta anos se passaram quando L Kronecker também melhorou e desenvolveu o método de Gauss para construir o campo de expansão de qualquer polinômio. Posteriormente, Gauss deu mais duas provas do teorema fundamental da álgebra. A quarta e última refere-se a 1848. O principal resultado das provas do teorema fundamental da álgebra de Euler, Lagrange e Gauss, I.G. Bashmakov, foi que "provas algébricas do teorema fundamental da álgebra são valiosas precisamente porque para sua implementação novos métodos profundos da própria álgebra foram desenvolvidos e as forças de métodos e técnicas já criadas foram testadas". Autor: Samin D. K.
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