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DESCOBERTAS CIENTÍFICAS MAIS IMPORTANTES
Cálculo diferencial e integral. História e essência da descoberta científica
Diretório / As descobertas científicas mais importantes Muito antes Newton и Leibniz muitos filósofos e matemáticos trataram da questão dos infinitesimais, mas limitaram-se apenas às conclusões mais elementares. Até os antigos gregos usavam o método dos limites em estudos geométricos, por meio do qual calculavam, por exemplo, a área de um círculo. Um desenvolvimento especial foi dado a este método pelo maior matemático da antiguidade Arquimedes, que descobriu com sua ajuda muitos teoremas notáveis. Kepler e nesse aspecto foi o que mais se aproximou da descoberta de Newton. Por ocasião de uma disputa puramente mundana entre um comprador e um vendedor sobre várias canecas de vinho, Kepler assumiu a determinação geométrica da capacidade dos corpos em forma de barril. Nesses estudos já se pode ver uma ideia muito clara de infinitesimais. Assim, Kepler considerou a área de um círculo como a soma de inúmeros triângulos muito pequenos, ou, mais precisamente, como o limite de tal soma. Mais tarde, o matemático italiano Cavalieri fez a mesma pergunta. Em particular, os matemáticos franceses do século XVII Roberval fizeram muito nesta área, Fazenda и Pascal. Mas apenas Newton e um pouco mais tarde Leibniz criaram um método real que deu um grande impulso a todos os ramos das ciências matemáticas. Segundo Auguste Comte, o cálculo diferencial, ou a análise das quantidades infinitesimais, é uma ponte lançada entre o finito e o infinito, entre o homem e a natureza: um conhecimento profundo das leis da natureza é impossível com a ajuda de uma análise grosseira do finito quantidades, porque na natureza a cada passo - infinito, contínuo, mutável. Newton criou seu método com base em descobertas anteriores feitas por ele no campo da análise, mas na questão mais importante ele recorreu à ajuda da geometria e da mecânica. Quando exatamente Newton descobriu seu novo método não é exatamente conhecido. Pela estreita ligação deste método com a teoria da gravitação, deve-se pensar que foi desenvolvido por Newton entre 1666 e 1669, e em todo caso antes das primeiras descobertas feitas nesta área por Leibniz. "Newton considerava a matemática a principal ferramenta para a pesquisa física", observa V.A. Nikiforovsky, "e a desenvolveu para inúmeras outras aplicações. Após longas reflexões, ele chegou ao cálculo de infinitesimais com base no conceito de movimento; a matemática para ele não agir como um produto abstrato da mente humana Ele acreditava que as imagens geométricas - linhas, superfícies, corpos - são obtidas como resultado do movimento: uma linha - quando um ponto se move, uma superfície - quando uma linha se move, um corpo - quando um a superfície se move. Esses movimentos são realizados no tempo e, por um tempo arbitrariamente pequeno, um ponto , por exemplo, um caminho arbitrariamente pequeno passará. Para encontrar a velocidade instantânea, a velocidade em um determinado momento, é necessário encontrar o proporção do incremento do caminho (na terminologia moderna) para o incremento de tempo e, em seguida, o limite dessa proporção, ou seja, pegue a "última proporção", quando o incremento de tempo tende a zero. Assim, Newton introduziu a busca por "últimas proporções", derivadas, que ele chamou de fluxions... ... O uso do teorema sobre a inversão mútua das operações de diferenciação e integração, conhecido até mesmo por Barrow, e o conhecimento das derivadas de muitas funções deram a Newton a oportunidade de obter integrais (em sua terminologia, fluentes). Se as integrais não fossem calculadas diretamente, Newton expandia o integrando em uma série de potências e o integrava termo por termo. Para expandir funções em série, ele usou com mais frequência a expansão binomial descoberta por ele e também aplicou métodos elementares ... " O novo aparato matemático foi testado pelo cientista já na época da criação da principal obra de sua vida - "Princípios Matemáticos da Filosofia Natural". Naquela época, Newton era fluente em diferenciação, integração, expansão em série, integração de equações diferenciais e interpolação. “Newton”, continua V.A. Nikiforovsky, “fez suas descobertas antes de Leibniz, mas não as publicou em tempo hábil; todos os seus trabalhos matemáticos foram publicados depois que ele se tornou famoso. frases são suficientes para resolver problemas por movimento", contendo as principais descobertas da matemática. O manuscrito permaneceu em forma de rascunho e não foi publicado até trezentos anos depois. Em "Análise por meio de equações com um número infinito de termos", escrito em 1665, Newton expôs seus resultados na doutrina das séries infinitesimais, na aplicação de séries à solução de equações... ...Em 1670-1671, Newton começou a preparar para publicação uma obra mais completa - "O Método das Fluxões e Séries Infinitas". Não era possível encontrar uma editora: naquela época, os livros de matemática traziam um prejuízo... No "Método das Fluxões" o ensino de Newton funciona como um sistema: considera-se o cálculo das fluxões, sua aplicação para determinar tangentes, encontrar extremos, curvatura, cálculo de quadraturas, resolução de equações com fluxões, o que corresponde às equações diferenciais modernas". Somente em 1704 saiu o primeiro de todos os trabalhos de Newton sobre análise - escritos por ele em 1665-1666. Sete anos depois, eles publicaram "Análise usando equações com um número infinito de termos". O "Método das Fluxões" só viu a luz após a morte do autor em 1736. Durante muito tempo, Newton nem sequer suspeitou que o alemão Leibniz estivesse lidando com sucesso com um problema semelhante no continente. prioridade da descoberta do cálculo infinitesimal. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) nasceu em Leipzig. A mãe de Leibniz, cuidando da educação do filho, o mandou para a escola de Nicolai, que na época era considerada a melhor de Leipzig. Gottfried passou dias inteiros sentado na biblioteca de seu pai. Ele lia Platão, Aristóteles, Cícero, Descartes indiscriminadamente. Gottfried ainda não tinha quatorze anos quando surpreendeu seus professores ao mostrar um talento que ninguém suspeitava dele. Ele acabou por ser um poeta - de acordo com os conceitos da época, um verdadeiro poeta só poderia escrever em latim ou grego. Aos quinze anos, Gottfried tornou-se estudante da Universidade de Leipzig. Oficialmente, Leibniz foi considerado na Faculdade de Direito, mas o círculo especial de ciências jurídicas não o satisfez. Além de palestras sobre jurisprudência, ele participou diligentemente de muitas outras, especialmente em filosofia e matemática. Querendo completar sua educação matemática, Gottfried foi para Jena, onde o matemático Weigel era famoso. Voltando a Leipzig, Leibniz passou brilhantemente no exame de mestrado em "artes liberais e sabedoria mundial", isto é, literatura e filosofia. Gottfried naquela época não tinha nem 18 anos. No ano seguinte, voltando-se para a matemática por um tempo, ele escreveu "Discurso sobre Arte Combinatória". No outono de 1666, Leibniz partiu para Altorf, a cidade universitária da pequena República de Nuremberg. Aqui, em 5 de novembro de 1666, Leibniz defendeu brilhantemente sua tese de doutorado "Sobre Matérias Emaranhadas". Em 1667, Gottfried foi a Mainz ao eleitor, a quem foi imediatamente apresentado. Durante cinco anos, Leibniz ocupou uma posição de destaque na corte de Mainz, período de sua vida de intensa atividade literária. Leibniz escreveu uma série de obras de conteúdo filosófico e político. Em 18 de março de 1672, Leibniz partiu para a França em uma importante missão diplomática. O conhecimento dos matemáticos parisienses no menor tempo possível entregou a Leibniz a informação sem a qual, por todo o seu gênio, ele nunca poderia ter alcançado algo verdadeiramente grande no campo da matemática. A escola de Fermat, Pascal e Descartes foi necessária para o futuro inventor do cálculo diferencial. Para Leibniz, a matemática real só começou depois de visitar Londres em 1675. De volta a Paris, Leibniz dividiu seu tempo entre estudos em matemática e trabalhos de natureza filosófica. A direção matemática prevaleceu cada vez mais nele sobre a jurídica, as ciências exatas agora o atraíam mais do que a dialética dos advogados romanos. No último ano de sua estada em Paris em 1676, Leibniz elaborou os primeiros fundamentos do grande método matemático conhecido como "cálculo". Os fatos provam de forma convincente que, embora Leibniz não conhecesse o método das fluxões, ele foi levado à descoberta pelas cartas de Newton. Por outro lado, não há dúvida de que a descoberta de Leibniz, em termos de generalidade, conveniência de designação e desenvolvimento detalhado do método, tornou-se uma ferramenta de análise muito mais poderosa e popular do que o método das fluxões de Newton. Mesmo os compatriotas de Newton, que por muito tempo preferiram o método das fluxões por vaidade nacional, gradualmente adotaram a notação mais conveniente de Leibniz; quanto aos alemães e franceses, eles até prestaram pouca atenção ao método de Newton, que em outros casos manteve sua importância até os dias atuais. O método matemático de Leibniz está em estreita conexão com sua teoria posterior das mônadas - elementos infinitesimais a partir dos quais ele tentou construir o universo. A analogia matemática, a aplicação da teoria das maiores e menores quantidades ao campo moral, deu a Leibniz o que ele considerava um fio condutor na filosofia moral. As atividades políticas de Leibniz o distraíram em grande parte da matemática. No entanto, dedicou todo o seu tempo livre ao processamento do cálculo diferencial que inventou e, entre 1677 e 1684, conseguiu criar um novo ramo da matemática. Em 1684, Leibniz publicou na revista Proceedings of Scientists uma exposição sistemática dos princípios do cálculo diferencial. Todos os tratados que publicou, especialmente o último, que apareceu quase três anos antes da publicação da primeira edição dos Principia de Newton, deram à ciência um impulso tão grande que hoje é difícil até mesmo avaliar o significado total da reforma realizada por Leibniz no campo da matemática. O que era vagamente imaginado pelas mentes dos melhores matemáticos franceses e ingleses, com exceção de Newton, que tinha seu próprio método de fluxões, de repente tornou-se claro, distinto e geralmente acessível, o que não pode ser dito sobre o brilhante método de Newton. “Leibniz, em contraste com o concreto, empírico e prudente Newton”, escreve V.P. Kartsev, “foi um grande sistematizador no campo do cálculo, um ousado inovador. tendo mudado, tornou-se um sistema universal de notação para cálculo pequeno, que ainda usamos.Ele opera livremente com sinais... que ele corretamente considera sinais de operações inversas, e gira com eles tão livre e livremente quanto com símbolos algébricos. Ele opera facilmente com derivadas de ordem superior, enquanto Newton introduz fluxos de ordem superior de forma estritamente limitada, se necessário para resolver um problema específico. Leibniz viu em seus diferenciais e integrais um método geral, conscientemente procurou criar um algoritmo rígido para uma solução simplificada de problemas antes não resolvidos. Newton, por outro lado, não se importava em tornar seu método público. Seu simbolismo foi introduzido por ele apenas para consumo pessoal "interno", ele não aderiu estritamente a ele. Eis a opinião do matemático soviético A. Shibanov: "Curvando-se diante da autoridade indiscutível de seu grande compatriota, os cientistas britânicos posteriormente canonizaram cada traço, cada menor detalhe de sua atividade científica, até mesmo os sinais matemáticos que ele introduziu para uso pessoal". "A tradição de reverência a Newton pesava muito na ciência inglesa, e suas designações, desajeitadas em comparação com as de Leibniz, atrapalhavam o progresso", concorda o cientista holandês D.Ya. Stroyk. Em uma carta escrita em junho de 1677, Leibniz revelou diretamente a Newton seu método de cálculo diferencial. Ele não respondeu à carta de Leibniz. Newton acreditava que a descoberta lhe pertenceria para sempre. Basta que estivesse escondido apenas em sua cabeça. O cientista acreditava sinceramente: a publicação oportuna não traz nenhum direito. Diante de Deus, o descobridor sempre será aquele que descobriu primeiro. Autor: Samin D. K.
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