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DESCOBERTAS CIENTÍFICAS MAIS IMPORTANTES
Último Teorema de Fermat. História e essência da descoberta científica
Diretório / As descobertas científicas mais importantes Um dos obituários de Pierre de Fermat dizia: "Ele foi uma das mentes mais notáveis do nosso século, um gênio tão universal e tão versátil que, se todos os cientistas não prestassem homenagem aos seus extraordinários méritos, seria difícil acreditar em todas as coisas que precisa ser dito sobre ele, para não perder nada em nosso elogio." Infelizmente, não se sabe muito sobre a vida do grande cientista. Pierre Fermat (1601-1665) nasceu no sul da França, na pequena cidade de Beaumont-de-Lomagne, onde seu pai, Dominique Fermat, era o "segundo cônsul", ou seja, assistente do prefeito. Dominique Fermat deu ao filho uma educação muito sólida. No colégio de sua cidade natal, Pierre adquiriu um bom conhecimento das línguas: latim, grego, espanhol, italiano. Posteriormente, escreveu poesia em latim, francês e espanhol. Fermat era famoso como um bom conhecedor da antiguidade, ele foi consultado sobre lugares difíceis nas edições dos clássicos gregos. No entanto, Pierre direcionou toda a força de seu gênio para a pesquisa matemática. No entanto, a matemática não se tornou sua profissão. Os cientistas de seu tempo não tiveram a oportunidade de se dedicar inteiramente à sua amada ciência. A fazenda elege a jurisprudência. Um diploma de bacharel foi concedido a ele em Orleans. Desde 1630, Fermat mudou-se para Toulouse, onde recebeu um cargo de conselheiro no Parlamento (ou seja, o tribunal). Sobre suas atividades jurídicas, diz-se em “palavra louvável” que a exerceu “com grande consciência e com tal habilidade que ficou famoso como um dos melhores advogados de seu tempo”. Durante a vida de Fermat, seu trabalho matemático tornou-se conhecido principalmente pela extensa correspondência que mantinha com outros cientistas. As obras reunidas, que ele repetidamente tentou escrever, nunca foram criadas por ele. Sim, isso não é surpreendente, dado o árduo trabalho no tribunal que ele teve que realizar. Nenhum de seus escritos foi publicado durante sua vida, no entanto, ele deu a vários tratados uma aparência completamente acabada, e eles se tornaram conhecidos em manuscritos pela maioria de seus estudiosos contemporâneos. Além desses tratados, sua extensa e extremamente interessante correspondência permaneceu. No século XVII, quando não havia revistas científicas especiais, a correspondência entre cientistas desempenhava um papel especial. Estabeleceu tarefas, relatou métodos para resolvê-las e discutiu questões científicas agudas. Os correspondentes de Fermat foram os maiores cientistas de seu tempo: Descartes, Etienne Pascal e Blaise Pascal, de Beesi, Huygens, Torricelli, Vallis. As cartas eram enviadas diretamente ao correspondente ou a Paris para o abade Mersenne (um colega de faculdade de Descartes); este os multiplicou e os enviou aos matemáticos que trataram de questões semelhantes. Um dos primeiros trabalhos matemáticos de Fermat foi a restauração de dois livros perdidos de Apolônio "On Flat Places". O grande serviço de Fermat à ciência geralmente é visto em sua introdução de uma quantidade infinitesimal na geometria analítica, assim como foi feito um pouco antes. Kepler sobre a geometria dos antigos. Ele deu esse importante passo em seus 1629 trabalhos sobre as maiores e menores quantidades, trabalhos que abriram uma das séries mais importantes de estudos de Fermat, que são um dos maiores elos da história do desenvolvimento não apenas da análise superior em geral, mas também análise de infinitesimais em particular. No final dos anos 1636, Fermat descobriu métodos para encontrar extremos e tangentes que, do ponto de vista moderno, se resumem a encontrar uma derivada. Em XNUMX, a apresentação completa do método foi transferida para Mersenne, e todos podiam obter familiarizado com ele. Antes de Fermat, métodos sistemáticos de cálculo de áreas foram desenvolvidos pelo cientista italiano Cavalieri. Mas já em 1642, Fermat descobriu um método para calcular áreas limitadas por quaisquer "parábolas" e quaisquer "hipérboles" Ele mostrou que a área de uma figura ilimitada pode ser finita. Fermat foi um dos primeiros a enfrentar o problema de endireitar curvas, isto é, calcular o comprimento de seus arcos. Ele conseguiu reduzir esse problema ao cálculo de algumas áreas. Assim, o conceito de "área" de Fermat adquiriu um caráter muito abstrato. Problemas de endireitamento de curvas foram reduzidos à determinação de áreas, ele reduziu o cálculo de áreas complexas com a ajuda de substituições ao cálculo de áreas mais simples. Faltava apenas um passo para passar da área ao conceito ainda mais abstrato de "integral". Fermat tem muitas outras realizações. Ele veio pela primeira vez à ideia de coordenadas e criou a geometria analítica. Ele também lidou com os problemas da teoria da probabilidade. Mas Fermat não se limitou apenas à matemática, ele também estudou física, onde é dono da descoberta da lei de propagação da luz nos meios. Apesar da falta de evidências (das quais apenas uma sobreviveu), é difícil superestimar a importância do trabalho de Fermat no campo da teoria dos números. Ele sozinho conseguiu destacar do caos de problemas e questões particulares que surgem imediatamente diante do pesquisador ao estudar as propriedades dos números inteiros, os principais problemas que se tornaram centrais para toda a teoria clássica dos números. Ele também possui a descoberta de um método geral poderoso para provar proposições teóricas de números - o chamado método de descendência indefinida ou infinita, que será discutido abaixo. Portanto, Fermat pode ser considerado o fundador da teoria dos números. Em uma carta a de Bessy datada de 18 de outubro de 1640, Fermat fez a seguinte afirmação: se o número а não divisível por um número primo р, então existe tal indicador кQue а - dividido por р, onde k é um divisor р-1. Esta afirmação é chamada de pequeno teorema de Fermat. É fundamental em toda a teoria elementar dos números. Euler deu a este teorema várias provas diferentes. No segundo livro de sua Aritmética, Diofanto estabeleceu a tarefa de representar um dado quadrado como a soma de dois quadrados racionais. Nas margens, contra essa tarefa, Fermat escreveu: "Pelo contrário, é impossível decompor nem um cubo em dois cubos, nem um biquadrado em dois biquadrados e, em geral, em qualquer potência maior que um quadrado, em duas potências com o mesmo expoente. Descobri uma prova verdadeiramente maravilhosa para isso, mas esses campos são muito estreitos para ele." Este é o famoso Grande Teorema. Este teorema teve um destino surpreendente. No século passado, suas pesquisas levaram à construção das mais sutis e belas teorias relacionadas à aritmética dos números algébricos. Pode-se dizer sem exagero que ele desempenhou um papel no desenvolvimento da teoria dos números não menos importante do que o problema de resolver equações em radicais. A única diferença é que este último já foi resolvido por Galois, e o Grande Teorema ainda incentiva os matemáticos a pesquisar. Por outro lado, a simplicidade da formulação deste teorema e as palavras enigmáticas sobre sua "prova milagrosa" levaram à ampla popularidade do teorema entre não-matemáticos e à formação de toda uma corporação de "fermatistas" que, no palavras de Davenport, "têm coragem muito além de suas habilidades matemáticas". Portanto, o Grande Teorema está em primeiro lugar em termos do número de provas incorretas dadas a ele. O próprio Fermat deixou uma prova do Grande Teorema para as quartas potências. Aqui ele aplicou um novo método. Fermat escreve que "uma vez que os métodos usuais encontrados em livros eram insuficientes para provar proposições tão difíceis, finalmente encontrei uma maneira muito especial de alcançá-las. Chamei esse método de prova de descendência infinita ou indefinida". Foi por esse método que muitas proposições da teoria dos números foram provadas e, em particular, com sua ajuda, Euler provou o Grande Teorema para n=4 (de uma forma um pouco diferente do método de Fermat), e 20 anos depois para n= 3. Fermat descreveu este método em sua carta a Karkavy (agosto de 1659) da seguinte forma: "Se houvesse algum triângulo retângulo em números inteiros, que teria uma área igual ao quadrado, então haveria outro triângulo, menor que este, que teria a mesma propriedade. Se houvesse um segundo, menor que o primeiro , que teria a mesma propriedade, então, em virtude desse raciocínio, existiria um terço menor que o segundo, que teria a mesma propriedade, e, finalmente, um quarto, um quinto, descendo ao infinito. número é dado, então não há, quero dizer, números inteiros.) Daí se conclui que não há triângulo retângulo com área quadrada. Fermat continua dizendo que, depois de muita deliberação, conseguiu aplicar seu método à prova de outras proposições afirmativas. “Mas para aplicar o método à prova de outras proposições”, escreve IG Bashmakova, “por exemplo, para provar que cada número pode ser representado por uma soma de não mais de quatro quadrados, é necessária a aplicação de “novos princípios”, em que Fermat não se debruça em mais detalhes. Uma lista de todos os teoremas que Fermat provou usando o método da descida, incluindo o grande teorema para o caso n = 3. No final da carta, Fermat expressa a esperança de que este método ser útil para matemáticos subsequentes e mostrar-lhes que "os antigos não sabiam tudo" "Infelizmente, esta carta foi publicada apenas em 1879. No entanto, Euler restaurou o método de Fermat de observações separadas e aplicou-o com sucesso a problemas de análise indefinida. Em particular, ele também possui a prova do grande teorema para n = 3. Lembre-se que a primeira tentativa de provar a indecomponibilidade do cubo de um número natural na soma de dois cubos foi feita por volta do ano 1000 no Oriente Árabe. O método de descendência voltou a ter um papel de destaque nas pesquisas sobre análise diofantina de A. Poincaré e A. Weyl. Atualmente, para aplicar este método, introduz-se o conceito de altura, ou seja, tal número natural, que de certa forma é colocado em correspondência com cada solução racional. Além disso, se for possível provar que para cada solução racional de altura A existe outra solução de altura menor que A, isso implicará na insolubilidade do problema em números racionais. Toda a teoria dos números algébricos subsequentes até os artigos Gaussiano desenvolvido, a partir dos problemas de Fermat. No século XIX, as pesquisas relacionadas ao Último Teorema de Fermat e às leis da reciprocidade exigiram uma expansão do campo da aritmética. Kummer, enquanto trabalhava no Último Teorema de Fermat, construiu aritmética para inteiros algébricos de um certo tipo. Isso lhe permitiu provar o Grande Teorema para uma certa classe de expoentes primos n. Atualmente, a validade do Grande Teorema foi verificada para todos os expoentes n menores que 5500. Também notamos que o Grande Teorema está conectado não apenas com a teoria algébrica dos números, mas também com a geometria algébrica, que agora está sendo intensamente desenvolvida. Mas o Grande Teorema em sua forma geral ainda não foi provado. Portanto, temos o direito de esperar aqui o surgimento de novas ideias e métodos. Autor: Samin D. K.
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