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DESCOBERTAS CIENTÍFICAS MAIS IMPORTANTES
Geometria não euclidiana. História e essência da descoberta científica
Diretório / As descobertas científicas mais importantes Em definição de Euclides linhas paralelas são linhas retas que estão no mesmo plano e nunca se encontram, não importa o quão longe as estendamos. Mas já os mais antigos comentaristas de Euclides, Posidônio (século II aC), Gêmeo (século I aC), Ptolomeu (século II dC) - não consideravam que o quinto postulado de Euclides tivesse a mesma evidência que outros postulados e axiomas de Euclides , e tentou deduzi-lo como consequência de outras disposições, ou substituir a definição de paralelo dada por Euclides por outra definição. Na segunda metade do século XVII Leibniz também crítico das principais disposições de Euclides. Como se sabe, ele também queria construir uma análise puramente geométrica que expressasse diretamente as propriedades da posição, assim como a álgebra expressa a magnitude. Mas só na primeira metade do século XVIII veio a ideia de aplicar-se à questão das linhas paralelas e realizar sistematicamente na teoria das linhas paralelas aquele método de prova por contradição, tão frequentemente utilizado pelos matemáticos gregos. Esta brilhante ideia pertenceu a Saccheri. Na obra, surgida no ano de sua morte, "Euclides, livrado de todo lugar", Saccheri toma como ponto de partida um quadrilátero cujos dois lados opostos, perpendiculares à base, são iguais entre si. Em tal quadrilátero, os ângulos formados por lados iguais com o lado oposto à base são iguais, e a prova dessa propriedade do quadrilátero não depende do postulado de Euclides. Se forem linhas retas, então o postulado de Euclides está provado, pois neste caso a soma dos ângulos de um triângulo é igual a dois ângulos retos. Mas Saccheri (e esta é sua ideia brilhante original) também faz duas outras hipóteses - a hipótese de um ângulo agudo e a hipótese de um ângulo obtuso, deduz as consequências resultantes dessas hipóteses e tenta provar a impossibilidade dessas consequências, ou seja, a admissibilidade de apenas uma hipótese de ângulo reto. Ele consegue facilmente provar que a hipótese do ângulo obtuso é inválida, pois leva a contradições. A fim de encontrar a mesma contradição na hipótese do ângulo agudo, ele deduz uma série de teoremas notáveis, que mais tarde foram provados novamente por Legendre. Tais, por exemplo, são os teoremas segundo os quais se uma ou outra ou uma terceira hipótese vale para um quadrilátero, então vale também para qualquer outro. Três anos após o seu aparecimento, em 1766, Lambert coloca o mesmo problema que Saccheri. Em vez de um quadrilátero com dois ângulos retos e dois lados iguais, Lambert considera um quadrilátero com três ângulos retos e faz três hipóteses sobre o quarto ângulo. Sua exposição tem algumas peculiaridades em relação à de Saccheri: evita recorrer a argumentos baseados na continuidade. Do fato de que nas hipóteses de um ângulo obtuso e agudo não há semelhança de figuras, Lambert deduz a conclusão sobre a existência de uma medida absoluta. Em 1799, o brilhante matemático Carl Gauss seguiu o caminho que Saccheri e Lambert haviam percorrido antes dele - ao longo do caminho de uma derivação sistemática de todas as consequências da hipótese do ângulo agudo. Mas suas reflexões levaram a dúvidas sobre a possibilidade de provar o axioma de Euclides, e em 1816 o matemático estava convencido de que tal prova era impossível. A opinião pública de Gauss sobre a improbabilidade do axioma de Euclides não teve influência e foi mesmo submetida a ataques rudes. Esta foi uma das razões pelas quais ele decidiu não publicar suas pesquisas e pensamentos sobre a questão das fundações, "por medo do grito dos beócios" (carta a Bessel datada de 27 de janeiro de 1829). Mas ele não interrompeu sua pesquisa e com o maior interesse e simpatia acolheu os trabalhos e pensamentos que coincidiam com suas pesquisas e pontos de vista. O quão longe ele foi nesse caminho é mostrado por sua carta a Wolfgang Bolyai datada de 6 de março de 1832, na qual Gauss diz que entre 1797 e 1802 ele encontrou os resultados a que Johann Bolyai chegou. Por exemplo, uma prova puramente geométrica do teorema de que na geometria não euclidiana a diferença entre a soma dos ângulos de um triângulo de 180 graus é proporcional à área do triângulo. Wolfgang Bolyai, amigo de escola de Gauss, mostrou grande interesse pela teoria das linhas paralelas. Esse interesse extraordinário, segundo sua carta ao filho em 1820, envenenou-o todas as alegrias da vida, fez dele um mártir do desejo de livrar a geometria da mancha, "tirar a nuvem que obscurece a beleza da verdade virgem". Mas enquanto os esforços de quase toda a vida de seu pai foram direcionados para a prova do 5º postulado, e ele não conseguiu atingir o objetivo, seu filho talentoso foi um dos criadores da geometria não euclidiana. Johann Bolyai nasceu em 1802 em Klausenburg. Já em 1807, seu pai escreveu com prazer e orgulho a Gauss sobre as extraordinárias habilidades matemáticas do menino, que aos treze anos já havia estudado planimetria, estereometria, trigonometria, seções cônicas e aos 14 já estava resolvendo problemas de cálculo diferencial e integral com facilidade. Wolfgang não conseguiu enviar seu filho para estudar em Göttingen com o "colosso matemático", e em 1818 Johann entrou na Academia de Engenharia de Viena, onde muita atenção foi dada à matemática superior. Em 1823, concluiu o curso na academia e, como engenheiro militar, foi enviado para a fortaleza de Temetvar. É bastante natural que Johann, que possuía habilidades matemáticas extraordinárias, quase quando menino, tenha decidido tentar resolver o problema pelo qual seu pai estava atormentado, mas sobre o qual seu pai lhe disse que quem o resolvesse era digno de um diamante o tamanho do globo. Em 1820, Johann informa seu pai que já encontrou uma maneira de provar o axioma, e então seu pai lhe escreve uma carta acalorada advertindo-o contra se envolver na teoria das linhas paralelas. Em uma noite de inverno em 1823, ele descobriu que a relação básica entre o comprimento de uma perpendicular caída de um ponto para uma linha reta e o ângulo que a assíntota (linha paralela) faz com essa perpendicular Lobachevsky), que é a chave para a trigonometria não-euclidiana. Entusiasmado com sua descoberta, que lhe parecia abrir caminho para a prova do Axioma XI, ele escreve em 3 de novembro de Temetvar para seu pai: "Criei um mundo novo e diferente do nada. Tudo o que enviei até agora é apenas um castelo de cartas em comparação com a torre que está sendo erguida." Em 1829, Wolfgang completou um grande ensaio matemático, no qual trabalhou por cerca de vinte anos. Como apêndice deste livro, também foi publicada a obra imortal de Johann Boliai. É claro que Boliai não suspeitava que, ao mesmo tempo, na distante Kazan Lobachevsky estava publicando sua primeira obra "Sobre os Princípios da Geometria" (1829). Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856) nasceu no distrito de Makaryevsky da província de Nizhny Novgorod. Seu pai ocupava o lugar de arquiteto distrital e pertencia ao número de funcionários mesquinhos que recebiam um conteúdo escasso. A pobreza que o cercava nos primeiros dias de sua vida transformou-se em pobreza quando em 1797 seu pai morreu e sua mãe de 1802 anos ficou sozinha com os filhos sem meios. Em XNUMX, ela trouxe três filhos para Kazan e os designou para o ginásio de Kazan, onde as habilidades fenomenais de seu filho do meio foram rapidamente notadas. Quando em 1804 a classe sênior do ginásio de Kazan foi transformada em universidade, Lobachevsky foi incluído no número de alunos do departamento de ciências naturais. O jovem estudou brilhantemente. Lobachevsky recebeu uma excelente educação. Palestras sobre astronomia foram lidas pelo professor Litroff. Ele ouvia palestras sobre matemática do professor Bartels, aluno de um cientista tão proeminente como Carl Friedrich Gauss. Já em 1811, Lobachevsky recebeu o título de mestre e foi deixado na universidade para se preparar para uma cátedra. Em 1814, Lobachevsky recebeu o título de associado de matemática pura e, em 1816, tornou-se professor. A partir de 1819 Lobachevsky ensinou astronomia. A atividade administrativa do cientista começou em 1820, quando foi eleito reitor. Apesar da exaustiva atividade prática que não deixou um único momento de descanso, Lobachevsky nunca parou seus estudos científicos e durante sua reitoria publicou seus melhores trabalhos nas Notas Científicas da Universidade de Kazan. Se Johann Bolyai começou a estudar a teoria das linhas paralelas sob a influência de seu pai, Lobachevsky poderia começar a estudá-la apenas porque o interesse por essa teoria foi especialmente revivido no final do século XVIII e início do século XIX. No vigésimo quinto aniversário que precedeu o aparecimento do primeiro trabalho de Lobachevsky, não passou um ano sem o aparecimento de um ou mais trabalhos sobre a teoria das linhas paralelas. São conhecidas até 30 obras, impressas apenas em alemão e francês de 1813 a 1827. O trabalho de Legendre também despertou o interesse pela teoria das linhas paralelas entre os matemáticos russos. O primeiro acadêmico russo que conquistou um lugar de honra na história do ensino matemático russo com seus trabalhos publicados, CE. Guryev, em sua obra mais importante, Ensaio sobre o aperfeiçoamento dos elementos da geometria, publicada em 1798, deu atenção especial à teoria das linhas paralelas e às provas dadas por Legendre. Criticando essas provas, Guriev oferece as suas próprias. Com base na afirmação de que, sob certas condições, linhas que nos parecem paralelas podem se cruzar, Lobachevsky chegou à conclusão de que é possível criar uma geometria nova e consistente. Como sua existência era impossível de imaginar no mundo real, o cientista a chamou de "geometria imaginária". Mas ele, como eu. Boliai, não chegou a essa ideia de imediato. As palestras de 1815-1817, o livro de geometria de 1823 e a "Exposition succincte des principes de la geometrie", que não chegou até nós, lidas em uma reunião do Departamento de Física e Matemática em 12 de fevereiro de 1826 - essas são as três etapas do pensamento de Lobachevsky no campo da teoria das linhas paralelas. Em palestras, ele dá três maneiras diferentes de justificá-lo; em um livro de 1823, ele declara que todas as provas dadas até agora não merecem ser honradas no sentido pleno da matemática e, finalmente, três anos depois ele já dá aquele sistema para construir a geometria em uma posição diferente do postulado de Euclides , que imortalizou seu nome. "Exposição" não chegou até nós. A primeira obra impressa de Lobachevsky, que ele chama de extrato da Exposição, foi publicada no Kazan Vestnik em 1829-1830. Esta data estabelece a prioridade da publicação da descoberta de Lobachevsky em comparação com I. Boliai, uma vez que o "Apêndice" deste último foi publicado em 1831, e foi esgotado apenas em 1832. Como o título "Exposição" mostra, tinha como tema não apenas a teoria exata das linhas paralelas, mas também se dedicava à questão dos princípios da geometria. Embora tanto I. Boliai quanto Lobachevsky tenham sido eleitos membros da Academia de Ciências de Hannover por essa descoberta, foi a geometria de Lobachevsky que recebeu direitos de cidadania na Europa Ocidental. Em 1837 as obras de Lobachevsky foram publicadas em francês. Em 1840 ele publicou em alemão sua teoria dos paralelos, que ganhou o reconhecimento do grande Gauss. Na Rússia, Lobachevsky não viu a avaliação de seus trabalhos científicos. Obviamente, a pesquisa de Lobachevsky estava além da compreensão de seus contemporâneos. Alguns o ignoraram, outros saudaram seu trabalho com rudes zombarias e até repreensões. Enquanto nosso outro matemático altamente talentoso Ostrogradsky gozava de merecida fama, ninguém conhecia Lobachevsky; O próprio Ostrogradsky o tratou com zombaria ou hostilidade. Muito corretamente, ou melhor, completamente, um geômetra chamado geometria estelar de Lobachevsky. Pode-se formar uma ideia de distâncias infinitas se lembrarmos que existem estrelas das quais a luz chega à Terra por milhares de anos. Assim, a geometria de Lobachevsky inclui a geometria de Euclides não como um caso particular, mas como um caso especial. Nesse sentido, a primeira pode ser chamada de generalização da geometria que conhecemos. Agora surge a pergunta, Lobachevsky possui a invenção da quarta dimensão? De jeito nenhum. A geometria de quatro e muitas dimensões foi criada pelo matemático alemão, aluno de Gauss, Riemann. O estudo das propriedades dos espaços de uma forma geral constitui agora a geometria não-euclidiana, ou a geometria de Lobachevsky. O espaço de Lobachevsky é um espaço de três dimensões, que difere do nosso porque nele não se realiza o postulado de Euclides. As propriedades deste espaço estão agora sendo compreendidas assumindo uma quarta dimensão. Mas este passo já pertence aos seguidores de Lobachevsky. Naturalmente, surge a pergunta, onde está esse espaço. A resposta foi dada pelo maior físico do século XX Albert Einstein. Com base nos trabalhos dos postulados de Lobachevsky e Riemann, ele criou a teoria da relatividade, que confirmou a curvatura do nosso espaço. De acordo com esta teoria, qualquer massa material curva o espaço circundante. A teoria de Einstein foi repetidamente confirmada por observações astronômicas, como resultado ficou claro que a geometria de Lobachevsky é uma das ideias fundamentais sobre o universo ao nosso redor. Autor: Samin D. K.
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