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ENCICLOPÉDIA DE RÁDIO ELETRÔNICA E ENGENHARIA ELÉTRICA Cálculo de filtros RC. Enciclopédia de rádio eletrônica e engenharia elétrica
Enciclopédia de eletrônica de rádio e engenharia elétrica / Radioamador iniciante Consideremos circuitos seletivos ou seletivos de frequência que têm efeito de filtragem, ou seja, sinais com algumas frequências transmitem melhor, com outras - pior. Às vezes, essa propriedade dos circuitos é prejudicial, por exemplo, em amplificadores de áudio de alta qualidade, onde eles se esforçam para atingir a largura de banda mais ampla possível. E às vezes é útil, digamos, em receptores de rádio, quando de uma massa de sinais de estações de rádio operando em frequências diferentes, você precisa isolar o sinal de uma única, transmitindo em uma frequência que você conhece. Os circuitos filtrantes (filtros) devem necessariamente conter elementos reativos - capacitância e/ou indutância, uma vez que a resistência ativa dos resistores independe da frequência (no caso ideal). Na realidade, sempre existem capacitâncias e indutâncias parasitas (instalação, condutores, junções pn, etc.), então quase qualquer circuito acaba sendo um filtro em um grau ou outro, ou seja, seus parâmetros dependem da frequência. Primeiro, vejamos as cadeias RC mais simples. Na Fig. A Figura 28a mostra um diagrama de um filtro passa-baixa simples (LPF), que passa baixas frequências e atenua altas frequências.
O coeficiente de transmissão é a razão K = Uout/Uin (mais precisamente, é o módulo, ou o valor absoluto do coeficiente de transmissão). Vamos calculá-lo usando as informações que já conhecemos sobre circuitos de corrente alternada. A corrente no circuito é:
e a tensão de saída é igual à queda de tensão no capacitor C:
Substituindo a corrente, encontramos
O coeficiente de transmissão revelou-se complexo. Isto significa que a tensão de saída do filtro está defasada em relação à entrada. Para enfatizar a natureza complexa de K, ele é frequentemente denotado como K(jω). Vamos encontrar o módulo (valor absoluto) e o argumento (fase) K
Tanto a magnitude quanto a fase do ganho dependem da frequência ou são consideradas funções da frequência. Um sinal negativo do argumento indica que a fase do sinal de saída está atrasada em relação à fase do sinal de entrada. Se você traçar seus gráficos, obterá as características amplitude-frequência e frequência de fase do filtro (AFC e PFC), mostradas na Fig. 28,6 e em respectivamente. O filtro funciona da seguinte maneira. Nas frequências mais baixas, a capacitância do capacitor é alta e o sinal é transmitido da entrada para a saída através da resistência R praticamente sem atenuação.À medida que a frequência aumenta, a capacitância cai e o circuito atua como um divisor de tensão. Na frequência de corte ωc, a reatância capacitiva é igual à ativa, e ωcRC = 1. Porém, o módulo K não é igual a 1/2, como seria o caso das resistências ativas, mas é 1/V2 = 0,7 , como pode ser visto no diagrama vetorial de tensão (Fig. 28,d). A mudança de fase introduzida pelo circuito na frequência de corte é de 45° - é quanto a fase do sinal de saída está atrasada em relação à fase de entrada. Com um aumento adicional na frequência, o módulo do coeficiente de transmissão cai proporcionalmente à frequência e a mudança de fase tende a -90°. Muitas vezes, para simplificar os cálculos, é introduzida a notação RC = τ. (constante de tempo da cadeia), ωRC = ω/ωс = x (frequência generalizada). O coeficiente de transmissão nestas notações é escrito de forma bastante simples:
É aconselhável retornar às designações anteriores somente após a conclusão de todos os cálculos. Em nossa análise, assumimos tacitamente que o circuito é alimentado por um oscilador com resistência interna muito baixa e sua saída é descarregada. Na realidade, a fonte do sinal sempre possui alguma resistência interna R1, e se estiver ativa basta adicioná-la a R. Da mesma forma, se a carga tiver capacitância CH, basta adicioná-la a C. Se a carga tem uma resistência ativa RH, então o módulo K já está nas frequências mais baixas, onde a influência da capacitância pode ser desprezada, será menor que a unidade e será (simplesmente calculamos de acordo com a lei de Ohm) RH/(R + RH ). A frequência de corte também aumentará e, como pode ser facilmente calculado da maneira descrita acima, não será mais
onde R' é a resistência obtida conectando R e Rn em paralelo. Aqui está um exemplo da aplicação prática das informações apresentadas. O amplificador de vídeo de TV deve transmitir uma banda de frequência de 6 MHz e opera sobre uma carga capacitiva que consiste na capacitância de saída do transistor Cm, na capacitância de montagem Cm e na capacitância intereletrodos da grade de controle do cinescópio Ck (Fig. 29, a ). Sua soma pode ser estimada com algum tipo de medidor de capacitância (claro, com a TV desligada!) ou usando dados de referência. Seja 25 pF - esta será a capacidade do circuito RC em consideração. A resistência R do circuito é obtida conectando em paralelo a resistência interna do transistor (gerador de sinal) e a resistência de carga Rн. O primeiro pode ser encontrado a partir das características do coletor do transistor, tomando um pequeno incremento ΔUк próximo à tensão operacional do coletor Uк e encontrando o incremento de corrente correspondente ΔIк
Normalmente a resistência interna é muito maior que a resistência da carga, então podemos considerar R = Rн. Vamos encontrar a resistência de carga permitida com base na queda da resposta de frequência para 0,7 (em 3 dB) a uma frequência de 6 MHz. A frequência de corte angular será
(arredondar para cima). Como RC = 1 /ωс,
Naturalmente, gostaríamos de escolher uma resistência de carga maior, o que aumentaria o ganho e reduziria a corrente consumida pelo transistor, mas isso não pode ser feito devido ao bloqueio das frequências superiores do espectro de vídeo, o que levará a uma perda de clareza da imagem.
Por diversão, vamos continuar o cálculo. Deixe um sinal com amplitude de até 50 V ser aplicado à grade do cinescópio, então a corrente do transistor deve ser de 50 mA. A resistência da carga também cairá 50 V, a tensão da fonte de alimentação deve ser de pelo menos 100 V e o resistor de carga liberará uma potência de 50 V - 50 mA = 2,5 W. A mesma potência será dissipada pelo transistor. A característica de carga para este caso é mostrada na Fig. 29, b junto com diagramas de tensão e corrente (que na televisão, deve-se notar, raramente são senoidais). Agora deve ficar claro por que o estágio de saída do amplificador de vídeo é feito com um transistor potente e um resistor poderoso é colocado na carga, embora o cinescópio não consuma nenhuma energia através do circuito do eletrodo de controle (grade). Para melhorar de alguma forma a situação, muitas maneiras foram inventadas. Uma delas consiste em corrigir a resposta em frequência conectando em série com a carga uma bobina com pequena indutância (Fig. 29, a), selecionada de forma que ressoe com a capacitância total C em algum lugar na frequência de corte ou um pouco mais alta. O circuito oscilatório resultante com um fator de qualidade muito baixo (não mais que 1...1.5) contribui para um aumento na resposta de frequência próximo à frequência de corte. Na Fig. 29, a linha sólida mostra a resposta de frequência do amplificador antes da correção, correspondendo à resposta de frequência de um circuito RC simples, e a linha tracejada mostra a resposta de frequência após ligar a indutância. Desta forma, a largura de banda das frequências transmitidas é expandida em 1,5...2 vezes, ou o ganho e a eficiência da cascata são aumentados na mesma proporção. O estreitamento da largura de banda descrito acima ocorre em cada estágio do amplificador, o que deve ser levado em consideração ao projetar amplificadores de vários estágios. Por exemplo, no caso de duas cascatas idênticas, a inclinação da resposta de frequência em cada uma não deve ser superior a 0,84 (0,842 = 0,7), no caso de três - não superior a 0,89. Às vezes, principalmente em amplificadores de vídeo, são usados “pequenos truques”: a etapa preliminar, em que tanto as capacitâncias intereletrodos quanto a oscilação da tensão de saída são menores, é projetada em banda larga, com aumento da resposta de frequência em altas frequências, compensando o declínio na resposta de frequência no estágio de saída. A cadeia descrita (ver Fig. 28, a) é chamada de filtro passa-baixa quando suas características de frequência são consideradas, e também é chamada de integração quando a passagem de um sinal de pulso é considerada. Deixe uma queda de tensão com borda curta atuar na entrada do circuito (Fig. 30). A tensão de saída não aumentará imediatamente, pois o capacitor precisa de tempo para carregar com a corrente limitada pelo resistor R.
Somente no primeiro momento após o impacto da diferença a corrente será igual a UBX/R, depois diminuirá à medida que a tensão no capacitor aumentar. Criando uma equação diferencial para a tensão de saída e resolvendo-a, podemos estabelecer que
onde e é a base dos logaritmos naturais. Durante o tempo τ = RC, a tensão de saída aumenta para aproximadamente 0,63 do valor de entrada e então se aproxima assintoticamente dele. Assim, a cadeia integradora “sobrecarrega” as arestas acentuadas do sinal, o que, aliás, explica a diminuição da clareza da imagem televisiva. Vamos passar para os filtros passa-alta (HPF), o mais simples dos quais (diferenciando a cadeia RC) é mostrado na Fig. 31, a. O coeficiente de transmissão é agora expresso da seguinte forma:
A resposta de frequência da cadeia é mostrada na Fig. 31, b. A fórmula para a frequência de corte permanece a mesma. A resposta de fase também é a mesma, mas o sinal de φ muda - a fase do sinal de saída está à frente da fase do sinal de entrada. Está perto de 90° nas frequências mais baixas e se aproxima de zero nas altas frequências (o gráfico da Fig. 28c é suficiente para subir 90° ao longo do eixo φ). Na verdade, todas as expressões para o filtro passa-alta são obtidas a partir das fórmulas do filtro passa-baixa, substituindo a frequência generalizada x por -1/x', que é frequentemente usada no cálculo de quaisquer filtros. A resposta ao impulso da cadeia é mostrada na Fig. 32. É, por assim dizer, o inverso do anterior - a tensão de saída aumenta abruptamente, mas depois cai de acordo com uma lei exponencial de acordo com a visão. Durante um tempo igual à constante de tempo da cadeia t, é diminui para 0,37 da entrada, no próximo intervalo t - novamente para 0,37 e assim por diante (a propósito, esta é uma boa regra para traçar exponenciais - para cada divisão horizontal, a coordenada vertical da curva deve aumentar ou diminuir no mesma porcentagem). Quase todas as cadeias RC de separação entre estágios são um filtro passa-alta descrito. Mesmo que não haja resistência explícita R, é a resistência de entrada do estágio conectado atrás do capacitor de acoplamento. Se também levarmos em conta que a capacitância parasita na saída do estágio forma um filtro passa-alta, fica claro que qualquer estágio amplificador limita a largura de banda das frequências transmitidas tanto por baixo quanto por cima, ou seja, é um filtro passa-banda . Para pulsos retangulares que passam pelo estágio do amplificador, as bordas íngremes são suavizadas (ação do filtro passa-baixa) e a parte superior cai (ação do filtro passa-alta). Para aumentar o efeito de filtragem dos circuitos RC, vários deles são conectados em série, um após o outro, e para evitar que os circuitos sejam desviados pelos próximos, são separados por estágios intermediários de amplificação em transistores. Às vezes, para o mesmo propósito, são escolhidas cadeias subsequentes com maior resistência. No entanto, em qualquer caso, a resposta de frequência dos filtros na região da frequência de corte revela-se muito plana. Filtros ativos, nos quais o próprio elemento amplificador (transistor) serve como elemento filtrante, podem corrigir a situação. Na Fig. 33 mostra um diagrama de um filtro passa-baixa ativo (Sallen-Key). O elemento ativo nele deve ter ganho unitário e não inverter o sinal. Além disso, são necessárias altas impedâncias de entrada e baixas impedâncias de saída. Esses requisitos são atendidos por um seguidor (fonte) de transistor baseado em transistor ou (melhor) um amplificador operacional, cuja entrada inversora está conectada à saída. Os resistores são geralmente selecionados com a mesma resistência, e a capacitância do capacitor C2 é 2...2,5 vezes menor que a capacitância C1. Frequência de corte do filtro
O filtro funciona assim. Em frequências abaixo da frequência de corte dos circuitos RC, a tensão de saída praticamente repete a tensão de entrada e o capacitor C1 é desligado, pois ambas as suas placas possuem o mesmo potencial. O sinal é transmitido sem atenuação. À medida que a frequência aumenta, RC2 entra em ação e a tensão de saída diminui. Então o circuito RC1 também entra em ação, enfraquecendo ainda mais o sinal de saída. Como resultado, uma queda acentuada na resposta de frequência é formada acima da frequência de corte. Ao alterar a proporção das capacitâncias C1 e C2, você pode obter uma resposta de frequência suave e decrescente monotonicamente dentro da banda passante (filtro Butterworth) e pode até formar algum aumento antes da frequência de corte (filtro Chebyshev). Tendo formado tal aumento (curva 1 na Fig. 34), é aconselhável adicionar outro link passivo (curva 2), que compensará o aumento e tornará a inclinação da resposta de frequência atrás da frequência de corte ainda mais acentuada (curva 3) - |K| diminuirá 8 vezes com um aumento duplo na frequência. O resultado é um filtro de terceira ordem com inclinação de 18 dB por oitava. Como exemplo na Fig. A Figura 35 mostra um diagrama desse filtro passa-baixa com frequência de corte de 3 kHz. O filtro pode ser facilmente ajustado para outras frequências alterando os valores de todos os capacitores na proporção inversa da frequência. Um filtro passa-alta com características semelhantes é obtido trocando resistores e capacitores e alterando seus valores de acordo. Sobre a ordem dos filtros: é determinada pelo número de elementos reativos do filtro, e a inclinação da inclinação da resposta em frequência depende da ordem. Assim, os links de primeira ordem (Fig. 28,a e 31,a) enfraquecem o sinal em 2 vezes com uma mudança dupla na frequência (6 dB/oct.), o filtro de segunda ordem (Fig. 33) - em 4 vezes (12 dB/oct.) out.), filtro de terceira ordem (Fig. 35) - 8 vezes (18 dB/oct.).
Pergunta para autoteste. Alguns amplificadores 20H de alta qualidade (largura de banda 20 Hz...3 kHz) têm uma impedância de entrada de 100 kOhm, a fonte do sinal tem a mesma impedância de saída. Eles são conectados por um cabo blindado com capacitância linear de 100 pF/m. O comprimento do cabo é de 3,2 M. Além disso, um capacitor de separação com capacidade de 0,01 μF está incluído na entrada do amplificador. Tudo foi feito corretamente, qual será a faixa de frequência real e o que deve ser feito para corrigir a situação? resposta. Vamos desenhar um circuito equivalente (Fig. 63) contendo uma fonte de sinal G1 com resistência interna r, um cabo com capacitância C1, um capacitor de isolamento C2 e a resistência de entrada do amplificador R1.
As altas frequências são atenuadas pela capacitância do cabo, em paralelo com a qual a resistência de entrada R1 e a resistência interna da fonte de sinal r estão conectadas. O capacitor de acoplamento C2 em altas frequências tem uma resistência desprezível e pode ser ignorado. Conectar dois resistores de 100 kOhm em paralelo dá um valor total de 50 kOhm. A capacitância do cabo C1 é 100 pF/m x 3,2 m = 320 pF. Usando a fórmula fc= 1/2πRC determinamos a frequência superior da banda passante: fB = 1/6,28 320 10-12-50 103 = 104 Hz = 10 kHz. Para aumentá-lo para 20 kHz, você deve encurtar o cabo pela metade, ou selecionar um cabo com metade da capacitância linear, ou diminuir a impedância de saída da fonte de sinal para aproximadamente 30 kOhm para que a resistência total conectada em paralelo ao cabo não é 50, mas 25 kOhm. O último método é preferível, pois também aumenta a tensão na entrada do amplificador. Na verdade, se as resistências da fonte do sinal e do amplificador forem iguais, será metade da fem da fonte, e quando a resistência da fonte do sinal for reduzida para 30 kOhm, atingirá 75% da fem da fonte. Por esta razão, cátodos, emissores ou seguidores de fontes com baixa impedância de saída são frequentemente instalados na saída de fontes de sinal operando em cabos de conexão longos. Vamos agora calcular a frequência limite inferior da banda passante. É determinado pelo capacitor de isolamento C2 (0,01 μF) e pela resistência total da fonte de sinal e entrada do amplificador conectados em série (r+R1 = 100+100 = 200 kOhm). Usando a mesma fórmula, calculamos a frequência de corte desta cadeia RC (HPF): fH = 1/2πRC = 1/6,28 2 105· 10-8 = 80 Hz. Para diminuir a frequência de corte para 20 Hz, a capacitância do capacitor de acoplamento deve ser aumentada pelo menos 4 vezes. O valor de capacitância padrão mais próximo é 0,047 µF. Se, de acordo com a recomendação acima, a resistência de saída da fonte de sinal r for reduzida para 30 kOhm, então a resistência total da cadeia do filtro passa-alta será r + R1 = 30 + 100 = 130 kOhm, e o necessário a capacitância do capacitor de acoplamento será igual a: C \u1d 2 / 1πf HR \u6,28d 20 / 1,3 10 XNUMX-XNUMX5= 0,07 uF. Autor: V.Polyakov, Moscou
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