O paradoxo do retângulo. Truque eficaz e sua solução

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O Paradoxo do Retângulo. Segredo do Foco

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Descrição do foco:

Ao somar as áreas das partes, a permutação dos triângulos B e C na parte superior da Fig. 1 resulta em uma perda aparente de uma unidade quadrada.

Paradoxo de foco com retângulo
Figura.1

Isso se deve às áreas das partes sombreadas: na parte superior da figura existem 15 quadrados sombreados, na parte inferior - 16. Substituindo as peças sombreadas por duas figuras de um tipo especial cobrindo-as, chegamos a uma nova e impressionante forma de paradoxo. Agora temos um retângulo à nossa frente, que pode ser cortado em 5 partes e, a seguir, trocá-las, formar um novo retângulo e, apesar de suas dimensões lineares permanecerem as mesmas, um orifício com área de uma unidade quadrada aparece no interior (Fig. 2).

Paradoxo de foco com retângulo
Figura.2

A possibilidade de converter uma figura em outra, com as mesmas dimensões externas, mas com um furo dentro do perímetro, baseia-se no seguinte. Se você pegar o ponto X exatamente três unidades da base e cinco unidades do lado do retângulo, a diagonal não passará por ele. No entanto, a polilinha que liga o ponto X aos vértices opostos do retângulo se desviará tão pouco da diagonal que será quase imperceptível. Depois de trocar os triângulos B e C na metade inferior do desenho, as partes da figura se sobrepõem ligeiramente ao longo da diagonal.

Por outro lado, se na parte superior da figura considerarmos a linha que liga os vértices opostos do retângulo como uma diagonal exatamente desenhada, então a linha XW será ligeiramente maior que três unidades. E como consequência disso, o segundo retângulo ficará um pouco mais alto do que parece. No primeiro caso, a unidade de área que falta pode ser considerada distribuída de canto a canto e formando uma sobreposição ao longo das diagonais. No segundo caso, o quadrado que falta é distribuído pela largura do retângulo. Como já sabemos do anterior, todos os paradoxos deste tipo podem ser atribuídos a uma destas duas opções de construção. Em ambos os casos, as imprecisões das figuras são tão pequenas que são completamente invisíveis.

A forma mais elegante desse paradoxo são os quadrados, que, após a redistribuição das partes e a formação de um buraco, permanecem quadrados.

Tais quadrados são conhecidos em inúmeras variantes e com furos de qualquer número de unidades quadradas. Alguns dos mais interessantes deles são mostrados na Fig. 3 e 4.

Paradoxo de foco com retângulo
Figura.3

Paradoxo de foco com retângulo
Figura.4

Você pode apontar para uma fórmula simples que relaciona o tamanho do buraco com as proporções do triângulo grande. Os três tamanhos que serão discutidos serão denotados por A, B e C (Fig. 5).

Paradoxo de foco com retângulo
Figura.5

A área do buraco em unidades quadradas é igual à diferença entre o produto de A e C e o múltiplo mais próximo do tamanho B. Então, no último exemplo, o produto de A e C é 25. O múltiplo mais próximo do tamanho B de 25 é 24, então o buraco é uma unidade quadrada. Esta regra se aplica independentemente de a diagonal real ser desenhada ou o ponto X na fig. 5 é aplicado perfeitamente na interseção das linhas da grade quadrada. Se a diagonal, como deveria ser, for traçada como uma linha estritamente reta, ou se o ponto X for tomado exatamente em um dos vértices da grade quadrada, nenhum paradoxo será obtido. Nesses casos, a fórmula dá um buraco de zero unidades quadradas, denotando, é claro, que não há buraco algum.

Autor: M. Gardner

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