Fundamentos da matemática booleana. Enciclopédia de rádio eletrônica e engenharia elétrica

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A análise de dispositivos combinacionais e circuitos lógicos digitais é mais facilmente realizada usando a matemática booleana, que opera com apenas dois conceitos: verdadeiro (lógico 1) e falso (lógico 0). Como resultado, as funções que exibem informações assumem apenas os valores 0 ou 1 em um determinado momento. Tais funções são chamadas de funções lógicas. As funções lógicas Y de várias variáveis ​​(X0, X1, ..., Xn-1) determinam a natureza das operações lógicas, pelo que a variável Y é atribuída a um conjunto de variáveis ​​de entrada

Y=f(X0, X1, ..., Xn-1).

A função de transformação é mais claramente caracterizada por uma tabela, nas linhas em que cada combinação de variáveis ​​de entrada X corresponde ao valor da variável Y. É chamada de tabela verdade.

As principais funções lógicas são multiplicação lógica (conjunção), adição lógica (disjunção) e negação lógica (inversão). Na multiplicação lógica, as variáveis ​​de entrada (duas ou mais) são conectadas por uma união AND. Esta operação é indicada por /\ ou pelo sinal de multiplicação (*). A função Y1=X1*X2 assume o valor lógico 1 somente se todas as variáveis ​​de entrada forem iguais a 1. Se pelo menos uma variável for igual a 0, então a função de saída será igual a 0 (tabela 1).

Além disso, duas ou mais instruções são conectadas pela união OR (OR). Esta operação é denotada pelo símbolo \/ ou pelo sinal de adição (+) A tabela verdade para a disjunção se parece com isso.

A afirmação (X1 + X2) é verdadeira se pelo menos uma das afirmações nela incluídas for verdadeira.

Com negação lógica, a função é NOT (NOT), o valor da função de saída é oposto à variável de entrada (Tabela 3). Esta operação é indicada por X (leia "NÃO X").

Conjunção, disjunção e inversão podem expressar quaisquer outras operações mais complexas sobre declarações. Portanto, o sistema de funções Y1=X1*X2, Y2=X1+X2 e Y3=-X tem completude funcional. Como exemplo, considere várias funções implementadas usando elementos de tecnologia de computador. Equivalência (ou equivalente) é a função Y de dois argumentos X1 e X2, que assume o valor=1 quando X1=X2=1 ou quando X1=X2=0. Para valores diferentes dos argumentos X1≠X2, o valor da função Y=0. Pode-se mostrar que a função Y tem a forma Y=X1*X2+(-X1)*(-X2), o que é confirmado substituindo os valores correspondentes dos argumentos na expressão. A inequivalência é uma função Y de dois argumentos X1 e X2, que assume o valor 1 para X1≠X2, e o valor 0 para X1=X2=0 ou,. em X1=X2=1. Neste caso, teremos Y=X1*X2+X1*X2. A operação de desigualdade é freqüentemente chamada de soma módulo 2 e denotada por Y=X1(+)X2. Existem também sistemas funcionalmente completos que consistem em apenas uma função. Estes incluem, em particular, as funções AND-NOT (Y= -(X1*X2) e OR-NOT (Y=-(X1+X2)), que são amplamente utilizadas na modelagem de dispositivos digitais. Aqui está uma tabela verdade das funções AND-NOT e OR-NOT de duas variáveis ​​X1 e X2.

A matemática booleana permite transformar fórmulas que descrevem declarações complexas para simplificá-las. Isso ajuda no final a determinar a estrutura ideal de um determinado dispositivo digital que implementa qualquer função complexa. Sob a estrutura ótima, costuma-se entender a construção de um dispositivo em que o número de elementos incluídos em sua composição é mínimo.

Autor: -=GiG=-, gig@sibmail; Publicação: cxem.net

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