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DESCOBERTAS CIENTÍFICAS MAIS IMPORTANTES
Teoria de grupo. História e essência da descoberta científica
Diretório / As descobertas científicas mais importantes Grupos de permutação de raízes foram tratados anteriormente por Lagrange e Gauss. Mas é indiscutível o mérito de quem formulou as propriedades essenciais dos conceitos e os aplicou à solução de novos e difíceis problemas. Isso foi feito pelo matemático francês Galois para o conceito de grupo. Somente depois de seu trabalho, tornou-se objeto de estudo para os matemáticos. Évariste Galois (1811–1832) nasceu em Bourg-la-Reine. Em 1823, Evariste foi enviado por seus pais para estudar no Royal College em Paris. Aqui ele se interessou por matemática e começou a estudar de forma independente as obras de Legendre, Euler, Lagrange, Gauss. As ideias de Lagrange dominam Galois por completo. Parece-lhe, como outrora a Abel, ter encontrado uma solução para a equação do quinto grau. Ele faz uma tentativa frustrada de entrar na Escola Politécnica, mas o conhecimento das obras de Legendre e Lagrange não foi suficiente, e Galois voltou para a faculdade. Aqui a felicidade sorri pela primeira vez - ele conhece um professor que soube apreciar seu gênio. Richard soube elevar-se acima dos programas oficiais, estava atento ao progresso das ciências e procurava alargar os horizontes dos seus alunos. Os comentários de Richard sobre Evariste são simples: "Ele trabalha apenas nas áreas superiores da matemática." De fato, já aos dezessete anos, Galois obteve os primeiros resultados científicos. Em 1829, sua nota "Prova de um teorema sobre frações contínuas periódicas" foi publicada. Ao mesmo tempo, Galois apresentou outro trabalho à Academia de Ciências de Paris. Ela se perdeu na casa de Kosha. Galois tenta reingressar na Escola Politécnica, e novamente falha. A isso logo se somou um acontecimento que chocou o jovem: perseguido por opositores políticos, seu pai suicidou-se. Os infortúnios que se abateram sobre Evariste inevitavelmente o afetaram: ele ficou nervoso e de temperamento explosivo. Em 1829 Galois ingressou na Escola Normal. Preparava candidatos ao título de professor. Aqui Evarist completou um estudo sobre a teoria das equações algébricas e em 1830 submeteu seu trabalho ao concurso da Academia de Ciências de Paris, cujo destino estava nas mãos do secretário permanente da Academia - Fourier. Fourier começa a ler o manuscrito, mas logo morre. O segundo manuscrito, como o primeiro, desaparece. Na vida de Galois, chegou um momento repleto de acontecimentos importantes. Aderiu aos republicanos, ingressou na "Sociedade dos Amigos do Povo" e alistou-se na artilharia da Guarda Nacional. Por se manifestar contra a direção, foi expulso da Escola Normal. Em 14 de julho de 1831, em comemoração ao próximo aniversário da tomada da Bastilha, ocorreu uma manifestação dos republicanos. A polícia prendeu muitos manifestantes, entre eles estava Galois. O julgamento de Galois ocorreu em 23 de outubro de 1831. Ele foi condenado a 9 meses de prisão. Galois continuou sua pesquisa na prisão. Na manhã de 30 de maio de 1832, em um duelo na cidade de Gentilly, Galois foi mortalmente ferido por uma bala no estômago. Ele morreu um dia depois. As obras matemáticas de Galois, pelo menos as que sobreviveram, têm sessenta páginas pequenas. Nunca antes uma obra de tão pequeno volume trouxe tanta fama ao autor. Em 1832, Galois, na prisão, elabora um programa que foi publicado apenas setenta anos após sua morte. Mas mesmo no início do século XX, não despertou grande interesse e logo foi esquecido. Somente os matemáticos modernos, que continuaram o trabalho de muitas gerações de cientistas, finalmente realizaram o sonho de Galois. "Peço aos meus juízes que pelo menos leiam estas poucas páginas", começou Galois em seu famoso livro de memórias. No entanto, as ideias de Galois eram tão profundas e abrangentes que naquela época era realmente difícil para qualquer cientista apreciá-las. "... Portanto, acredito que as simplificações obtidas com o aprimoramento dos cálculos (claro, queremos dizer simplificações fundamentais, não técnicas) não são de forma alguma ilimitadas. Chegará o momento em que os matemáticos poderão prever as transformações algébricas com tanta clareza, que o dispêndio de tempo e papel para realizá-los com cuidado deixará de compensar. Não afirmo que a análise não possa alcançar nada de novo além de tal previsão, mas penso que sem ela um belo dia todos os meios serão em vão. Submeta os cálculos à sua vontade, agrupe as operações matemáticas, aprenda a classificá-las de acordo com o grau de dificuldade, e não de acordo com sinais externos - essas são as tarefas dos matemáticos do futuro como eu as entendo, esse é o caminho que eu quero seguir pegar. Que ninguém confunda a veemência que demonstrei com o desejo de alguns matemáticos de evitar quaisquer cálculos. Em vez de fórmulas algébricas, usam argumentos extensos e, à inconveniência das transformações matemáticas, acrescentam a inconveniência da descrição verbal dessas transformações, usando uma linguagem não adaptada para realizar tais tarefas. Esses matemáticos estão cem anos atrasados. Nada disso acontece aqui. Aqui estou fazendo análise análise. Ao mesmo tempo, as transformações mais complexas atualmente conhecidas (funções elípticas) são consideradas apenas como casos especiais, muito úteis e até necessários, mas ainda não gerais, de modo que recusar pesquisas mais amplas seria um erro fatal. Chegará o tempo em que as transformações referidas na análise superior aqui delineada serão efetivamente realizadas e serão classificadas de acordo com o grau de dificuldade, e não de acordo com o tipo de funções aqui decorrentes. Aqui é necessário prestar atenção às palavras "operações matemáticas de grupo". Galois, sem dúvida, quer dizer com isso a teoria dos grupos. Em primeiro lugar, Galois não estava interessado em problemas matemáticos individuais, mas em ideias gerais que determinam toda a cadeia de considerações e orientam o curso lógico do pensamento. Sua evidência é baseada em uma teoria profunda que permite combinar todos os resultados alcançados naquela época e determinar o desenvolvimento da ciência por muito tempo. Algumas décadas após a morte de Galois, o matemático alemão David Hilbert chamou essa teoria de "o estabelecimento de uma certa estrutura de conceitos". Mas não importa o nome que seja dado, é óbvio que abrange uma área muito grande do conhecimento. "Na matemática, como em qualquer outra ciência", escreveu Galois, "há questões que precisam ser abordadas neste exato momento. Esses são os problemas prementes que capturam as mentes dos pensadores avançados, independentemente de sua própria vontade e consciência." Um dos problemas em que Évariste Galois trabalhou foi a solução de equações algébricas. O que acontece se considerarmos apenas equações com coeficientes numéricos? Afinal, pode acontecer que, embora não exista uma fórmula geral para resolver tais equações, as raízes de cada equação individual possam ser expressas em radicais. E se não for? Então deve haver algum sinal que permita determinar se essa equação é resolvida em radicais ou não? O que é este sinal? A primeira das descobertas de Galois foi que ele reduziu o grau de incerteza de seus significados, ou seja, estabeleceu algumas das "propriedades" dessas raízes. A segunda descoberta está relacionada ao método usado por Galois para obter esse resultado. Em vez de estudar a própria equação, Galois estudou seu "grupo" ou, figurativamente falando, sua "família". "Um grupo", escreve A. Dalma, "é uma coleção de objetos que têm certas propriedades comuns. Vamos, por exemplo, tomar números reais como tais objetos. A propriedade geral de um grupo de números reais é que, ao multiplicar quaisquer dois elementos deste grupo, obtemos é também um número real. Em vez de números reais, movimentos no plano, estudados em geometria, podem aparecer como "objetos"; neste caso, a propriedade do grupo é que a soma de quaisquer dois movimentos novamente dá movimento. Passando de exemplos simples para outros mais complexos, pode-se, como "objetos" escolher algumas operações sobre objetos. Nesse caso, a propriedade principal do grupo será que a composição de quaisquer duas operações também é um operação. Foi este caso que Galois estudou. Considerando a equação que precisava ser resolvida, ele associou a ela um determinado grupo de operações (para Infelizmente, não podemos esclarecer aqui como isso é feito) e provou que as propriedades do equaçãorefletem as características desse grupo. Como equações diferentes podem ter o mesmo grupo, basta considerar o grupo correspondente a elas em vez dessas equações. Esta descoberta marcou o início do estágio moderno no desenvolvimento da matemática. Quaisquer que sejam os "objetos" que compõem o grupo: números, movimentos ou operações - todos eles podem ser considerados como elementos abstratos que não possuem características específicas. Para definir um grupo, basta formular as regras gerais que devem ser seguidas para que um determinado conjunto de "objetos" seja chamado de grupo. Atualmente, os matemáticos chamam tais regras de axiomas de grupo, a teoria de grupo consiste em listar todas as consequências lógicas desses axiomas. Ao mesmo tempo, mais e mais novas propriedades são descobertas consistentemente; provando-as, o matemático aprofunda cada vez mais a teoria. É essencial que nem os próprios objetos nem as operações sobre eles sejam especificados de forma alguma. Se depois disso, no estudo de algum problema particular, é preciso considerar alguns objetos matemáticos ou físicos especiais que formam um grupo, então, com base na teoria geral, pode-se prever suas propriedades. A teoria dos grupos, portanto, proporciona economias tangíveis de fundos; além disso, abre novas possibilidades para a aplicação da matemática em trabalhos de pesquisa. A introdução do conceito de grupo salvou os matemáticos do pesado dever de considerar muitas teorias diferentes. Descobriu-se que bastava destacar as "características básicas" de uma ou outra teoria e, como, de fato, são todas completamente semelhantes, basta designá-las com a mesma palavra e imediatamente fica claro que é inútil estudá-los separadamente. Galois procura introduzir uma nova unidade no enorme aparato matemático. A teoria dos grupos é, antes de tudo, colocar as coisas em ordem na linguagem matemática. A teoria dos grupos, a partir do final do século XIX, teve um enorme impacto no desenvolvimento da análise matemática, geometria, mecânica e, finalmente, física. Posteriormente, penetrou em outras áreas da matemática - grupos de Lie apareceram na teoria das equações diferenciais, grupos de Klein na geometria. Surgiram também os grupos de Galileu na mecânica e os grupos Lorenz na teoria da relatividade. Autor: Samin D. K.
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